【高校数学】積分するって何？

高校生は多項式関数の積分法を数$\mathrm{II}$で習います。こんなやつです。

\begin{eqnarray*} \int_0^1 -x^2+1 \ \mathrm{d}x&=&\left[ -\frac{1}{3}x^3+x\right]_0^1\\ &=&\frac{2}{3} \end{eqnarray*}

分数が頻繁に出てくるめんどくさいやつですね。三角関数や指数関数に関する積分は数$\mathrm{III}$で習います。積分の計算をすると面積が出てくるのですが、これについて詳しく説明していきます。

積分にも様々なものがありますが、高校で扱うのはリーマン積分のみですので、ここでもリーマン積分についてのみ扱います。また「極限の値が収束しなければならない」といった重要な注意点はあるのですが、「

積分=面積を求めるためのもの

」を理解するため、今回は関数$y=-x^2+1$のみについて触れたいと思います。

初めに、下図のような$y=-x+1$と座標軸で囲まれる面積$T$を計算してみましょう。

$x$切片も$y$切片も$1$ですから、単に直角二等辺三角形の面積を求めればよいので、

\begin{eqnarray*} T=1\times 1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}

となりますね。では、次のような$y=-x^2+1$と座標軸の正の部分で囲まれた部分の面積$S$は計算できるでしょうか。

$y=-x^2+1$のグラフは放物線であり曲がっています。その上円の一部でもないですから、このままでは計算できなさそうですね。 $T=\frac{1}{2}$よりは大きくなるはずですが$\cdots$。そこで「縦切りに」分割していきます。

例えば$10$コに分割すると、実際より少し小さな値になることが予想されます。ですがこれを$100$コ、あるいは$10000$コ$\cdots$と増やしていくとどんどん精度が上がっていきそうですね。

ここで元の図形を$n$コに分割したとします。 $0\leq x\leq 1$の範囲を考えているので、分割した各区間の幅は$\frac{1}{n}$になり、最初から数えて$k$番目の区間$\left( 1\leq k\leq n\right)$は

\begin{eqnarray*} \frac{k-1}{n}\leq x \leq \frac{k}{n} \end{eqnarray*}

になります。よって、原点から数えて$k$番目の長方形について横幅は$\frac{1}{n}$、縦は

\begin{eqnarray*} -\left( \frac{k}{n}\right)^2+1 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} S_n&=&\sum_{k=1}^n \left\{-\left( \frac{k}{n}\right)^2+1\right\} \times \frac{1}{n}\\ &=&\sum_{k=1}^n \frac{-k^2+n^2}{n^2}\times\frac{1}{n}\\ &=&\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n \left(-k^2+n^2\right)\\ &=&\frac{1}{n^3}\left( -\sum_{k=1}^n k^2+n^3 \right)\\ &=&-\frac{1}{6n^2}\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right) +1\\ &=&-\frac{2n^2+3n+1}{6n^2} +1\\ &=&1-\frac{1}{3}-\frac{1}{2n}-\frac{1}{6n^2}\\ &=&\frac{2}{3}-\frac{1}{2n}-\frac{1}{6n^2} \end{eqnarray*}

と計算できます。ちょっと煩雑ですがやっていることは総和記号の計算と式の整理です。ここで$n\to \infty$の時、$\frac{1}{2n}$や$\frac{1}{6n^2}$は0に近づきますので結局、

\begin{eqnarray*} S=\lim_{n\to \infty} S_n=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}

となり、求めたかった部分の面積$S$は$\frac{2}{3}$であることが分かります。このような面積の求め方を区分求積法と呼びます。リーマン積分の定義ですね。これだけでは証明にはなっていませんが、「

$y=-x^2+1$の$0\leq x\leq 1$の定積分=斜線の面積

」ということは分かってもらえたと思います。

ここで積分区間を$0\leq x\leq 1$から$0\leq x\leq a$に変えてみましょう。簡単のために$a$は1以下の正の実数とします。この時

\begin{eqnarray*} \int_0^a -x^2+1 \ \mathrm{d}x&=&\left[ -\frac{1}{3}x^3+x\right]_0^a\\ &=&-\frac{1}{3}a^3+a \end{eqnarray*}

ですね。それでは区分求積法をするとどうなるのか考えてみましょう。

積分区間の長さが$a$倍になりますから、最初から数えて$k$番目の区間は

\begin{eqnarray*} \frac{a\left(k-1\right)}{n}\leq x \leq \frac{ak}{n} \end{eqnarray*}

となります。不等式の左右が$a$倍されるので、区間の幅も$a$倍され$\frac{a}{n}$となります。さっきと同様に$n$コの長方形の面積の和$S_n$は

\begin{eqnarray*} S_n&=&\sum_{k=1}^n \left\{-\left( \frac{ak}{n}\right)^2+1\right\} \times \frac{a}{n}\\ &=&\sum_{k=1}^n \frac{-a^2k^2+n^2}{n^2}\times\frac{a}{n}\\ &=&\frac{a}{n^3}\sum_{k=1}^n \left(-a^2k^2+n^2\right)\\ &=&\frac{a}{n^3}\left( -a^2\sum_{k=1}^n k^2+n^3 \right)\\ &=&-\frac{a^3}{6n^2}\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right) +a\\ &=&-a^3\frac{2n^2+3n+1}{6n^2} +a\\ &=&a-\frac{a^3}{3}-\frac{a^3}{2n}-\frac{a^3}{6n^2} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} S=\lim_{n\to \infty} S_n=-\frac{1}{3}a^3+a \end{eqnarray*}

となります。やはり区分求積法と定積分の計算結果は一致しますね。数学的帰納法等を使えば$y=-x^2+1$以外の面積についても一致することが示せますが、非常に長くなります。ここでは「

積分は面積を求める計算だ

」ということが実感できれば良しとしましょう。

今回のポイントは「積分=面積を求める方法」だけなのでまとめる必要はないと思いますが、利用した重要公式や関係する知識は載せておきます。

$\displaystyle\int x^n\ \mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ \ \ $($C$は積分定数)

$\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n}{6}\left(n+1\right)\left(2n+1\right)$

積分は面積を求める計算

厳密にははさみうちの原理を使って両側から評価する必要があり、 $y$が負の部分では面積の$-1$倍が出てくるといった細かな注意点はありますが、とりあえず「積分が何をしている計算なのか」は実感できるのではと思います。

積分と微分は真逆の演算なので、1つ目の積分公式は覚えなくていいといえばいいのですが、使いこなすには微分よりも慣れが必要だと感じます。また2番目のべき乗和に関しては、数学的帰納法や式変形の練習になるので証明してみてもよいですが、面倒なので先に憶えてしまった方がいいかもしれませんね。