【中学理科】合成抵抗の公式
合成抵抗の公式
今回は直列回路や並列回路における合成抵抗の公式を扱います。
回路の性質とオームの法則から導けますが
大変有名かつ有用な公式ですので、
憶えておいて損はありません。
一気にややこしくなるため、文字を用いた厳密な導出や抵抗が3つ以上ある場合には触れず、
今までに扱った例を用いて、その考え方のみを紹介できればと思います。
直列回路の合成抵抗
下の図のような直列回路について考えます。
電圧を$30\mathrm{V}$かけると電流が$6\mathrm{A}$流れたとします。
各抵抗にかかる電圧を測定したら、
電球$E,\ M$の抵抗の大きさをそれぞれ計算でき、$R_E=3\Omega,\ R_M=2\Omega$になったとしましょう。
回路全体を流れる電流$I$が$6\mathrm{A}$であることに注意しつつ、
電球を箱で隠し、1つの抵抗として考えます
。
するとこの抵抗は、電圧を$30\mathrm{V}$かけると電流が$6\mathrm{A}$流れたので、
抵抗の大きさ$R$はオームの法則より
\begin{eqnarray*}
V&=&RI\\
30&=&R\times 6\\
R&=&5
\end{eqnarray*}
と計算できますね。この$R$のことを合成抵抗と呼びます。
オームの法則等を用いて$R=5\Omega$と計算できましたが、
直列回路の場合
\begin{eqnarray*}
R=R_E+R_M
\end{eqnarray*}
という風に二つの抵抗の大きさを足せば計算できます。
これが直列回路の場合における、合成抵抗の公式です。
なお、抵抗が3つ以上直列になった場合も同様に、
全て足していけば求まります。
本来ならしっかりと文字のまま計算するべきなのですが、
式変形が複雑ですので別の機会に紹介します。
この公式を使えば、各抵抗にオームの法則を使わなくても
回路全体の電流を計算できたりしますのでなかなか有用です。
並列回路の合成抵抗
続いて、下の図のような並列回路について考えます。
直列回路の時と同様、電球$E,\ M$の抵抗の大きさはそれぞれ$R_E=3\Omega,\ R_M=2\Omega$です。
回路全体を流れる電流$I$は$25\mathrm{A}$です。
直列回路と同様、
電球を箱で隠し、1つの抵抗として考えます
。
するとこの抵抗は、電圧を$30\mathrm{V}$かけると電流が$25\mathrm{A}$流れたことになるので、
合成抵抗の大きさ$R$はオームの法則より
\begin{eqnarray*}
V&=&RI\\
30&=&R\times 25\\
R&=&\frac{5}{6}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{R}=\frac{1}{R_E}+\frac{1}{R_M}\\
\end{eqnarray*}
という風に、二つの抵抗の逆数の和が合成抵抗の逆数になります。
これが並列回路の場合における合成抵抗の公式です。
なおもう少し変形して、
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{R}&=&\frac{1}{R_E}+\frac{1}{R_M}\\[13pt]
\frac{1}{R}&=&\frac{R_M}{R_ER_M}+\frac{R_E}{R_MR_E}\\[13pt]
\frac{1}{R}&=&\frac{R_M+R_E}{R_ER_M}\\[13pt]
R&=&\frac{R_ER_M}{R_E+R_M}
\end{eqnarray*}
という形に計算したものも有名です。「合成」$=$「積」$\div$「和」
と憶えてしまったもいいと思います。
まとめ
直列なら$R=R_E+R_M$
並列なら$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_E}+\frac{1}{R_M},\ R=\frac{R_ER_M}{R_E+R_M}$
回路の性質やオームの法則から導ける以上、知らないと解けないわけではないですが、
検算やスピードアップに使えます。
問題を解きながら、理解を深めてみてください。
