【中学数学】1次方程式を解くコツ
計算はなるべく楽に！
前回に引き続き、今回も1次方程式に関するお話です。
確かに等式の性質を使えば「正解する」ことは出来ますが、
方程式が含む数字によっては「面倒くさい」場合も多く、
その場合は何かしら工夫出来る事もあります。
工夫と言っても色々な種類がありますが、
今回は比較的使いやすく、適用範囲の広い物を取り上げたいと思います。
分数や小数は払う！
まず何といってもこれが重要です。
分数や小数を含む方程式は、初めに同じ値を両辺にかけることで、
分母や小数点を払うのが有効
である場合が多いです。例えばこんな計算ですね。
\begin{eqnarray*}
\frac{3}{2}x+4&=&\frac{1}{5}-\frac{2}{5}x\\
15x+40&=&2-4x\\
19x&=&-38\\
x&=&-2
\end{eqnarray*}
両辺に分母の最小公倍数である$10$を掛けることで、係数を整数にすることができます。
分数だけではなく整数にも$10$を忘れずに掛けてくださいね。
なお、次のような感じで通分を使ってしまう人を多く見かけます。
\begin{eqnarray*}
\frac{3}{2}x+4&=&\frac{1}{5}-\frac{2}{5}x\\
\frac{15}{10}x+4&=&\frac{2}{10}-\frac{4}{10}x\\
\frac{15}{10}x+\frac{4}{10}x&=&\frac{2}{10}-4\\
\frac{19}{10}x&=&-\frac{38}{10}\\
x&=&-2
\end{eqnarray*}
勿論数学的な間違いはなく、これでも正解はできますが、ちょっと書くのが面倒臭いと思いませんか？
方程式は分母を払って大丈夫(文字式はダメ！)
なので
折角なら楽な方を使いましょう。
「とりあえずやればいいや」と無の境地で作業を進めるのではなく、
「どうやったら楽に計算できるか」を念頭において練習してくださいね。
小数の場合も要領は同じです。
\begin{eqnarray*}
0.5x-1&=&0.2x+0.8\\
5x-10&=&2x+8\\
3x&=&18\\
x&=&6
\end{eqnarray*}
$10$を掛け小数点を右に1コずらせば整数に直せますね。
同じ数で割れるなら割る！
分数や小数がなかったとしても、数はなるべき小さいに越したことはありません。
\begin{eqnarray*}
21x+14&=&35(3-2x)\\
3x+2&=&5(3-2x)\\
3x+2&=&15-10x\\
13x&=&13\\
x&=&1
\end{eqnarray*}
この場合括弧を外す前に両辺を$7$で割ってしまうべきでしょう。
もし7で割らないと、
\begin{eqnarray*}
21x+14&=&35(3-2x)\\
21x+14&=&105-70x\\
91x&=&91\\
x&=&1
\end{eqnarray*}
となり、繰り下がりの計算などでミスを誘発しやすいです。
一般に計算ミスが多いと感じる場合、
無駄な計算をしてしまっていることが多いです
。
工夫を思いつかないという人でも、
「まずは両辺を何かで割れないかチェックする」という習慣づけをし、
計算量を減らす努力をしてきましょう。
元の式に代入して検算！
タイトルの通りなのですが、これも非常に重要なポイントです。
文字式の計算と違い、方程式はほとんどの場合検算をすることが可能です。
先に登場した
\begin{eqnarray*}
21x+14=35(3-2x)\\
\end{eqnarray*}
という方程式の解を$x=1$と計算した後、元の式に代入し、等号が成り立つことを確かめれば、
$x=1$が正しい解かを調べることができます。
\begin{eqnarray*}
21x+14&=&35(3-2x)\\
21\times 1+14&=&35(3-2\times 1)\\
21+14&=&35(3-2)\\
35&=&35\ \ \leftarrow\ \ \mathrm{OK!}
\end{eqnarray*}
係数に分数を含む場合だと検算が面倒になりますが、
分母を払った後の式に代入するだけでも大分精度が上がります。
\begin{eqnarray*}
\frac{3}{2}x+4&=&\frac{1}{5}-\frac{2}{5}x\ \ (x=-2 が答え)\\
15x+40&=&2-4x\\
15\times (-2)+40&=&2-4\times (-2)\\
-30+40&=&2+8\\
10&=&10\ \ \leftarrow\ \ \mathrm{OK!}
\end{eqnarray*}
答えが分数になってしまった場合は仕方ありません・・・テストの残り時間などと相談してくださいね。
同じものを置き換える！
上記のものに比べ中学1年だと汎用性はあまり高くありませんが、文字による置き換えはとても大切な考え方です。
例えば、
\begin{eqnarray*}
5(3x-2)-12=-2(3x-2)+16
\end{eqnarray*}
という方程式があった時、$3x-2=A$等と置き換えて
\begin{eqnarray*}
5(3x-2)-12&=&-2(3x-2)+16\\
5A-12&=&-2A+16\\
7A&=&28\\
(3x-2)&=&4\\
3x&=&6\\
x&=&2
\end{eqnarray*}
と考えれば少し楽かもしれません。
慣れてくれば$A$を使わなくても計算していけます。
置き換えの本当の威力が発揮されるのは二次方程式以降ですが、
利用問題などでは時折使えることがあります。
方程式ならいつでも使える
分数や小数は消し去る！
同じ数で割れないかチェック！
検算をする！
同じ形に注目して置き換え！
なお、今回のコツは連立方程式や二次方程式など、
方程式と名の付く計算では常に有効
です。
特に二次方程式の解の公式を使う場合、係数を小さくできれば非常に楽になりますので、
今のうちから上記の工夫を使いこなせるようにしておきましょう。